题目描述

假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

示例：

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题想法

这道题首先可以采用暴力的求解方法，只要计算在某一天中，其后的每一天卖出的价钱所得的利润最大，依次遍历每一天，最终就可以求得最大利润，这样可以得到的时间复杂度为$$(n-1)+(n-2)+…+2+1=n(n-1)/2$$也就是$O(n^2)$，不出所料，在这种解法中，你需要将一些冗余的操作去除，才能通过力扣的判题机。于是就有了下面的解法，也就是动态规划。

动态规划思路

1、状态的定义，首先需要声明一个动态规划数组dp，其中dp[i]表示以第i天为最后一天的子数组所能获得的最大利润。

2、状态转移方程，由于股票只能买卖一次，因此dp[i]（也就是前i天的最大利润），应该是前i-1天的最大利润与第i天卖出股票的利润的最大值，于是就有了$前i天最大利润=max（前i-1天最大利润，第i天价格-前i天最低价格）$即为dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - min(prices[0:i]))，最终返回dp[n-1]为所求。

优化

我们还可以进行空间和时间上的优化，时间上，可以借助一个变量cost来维护最小值，这样每次进行状态转移时只需要dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - min(cost, prices[i]))，空间上，由于本道题的状态转移只需要前一次的状态，因此可以采用一个变量maxprofit来代替整个动态规划列表，这样状态转移就简化为了maxprofit = max(maxprofit, prices[i] - min(cost, prices[i]))

代码

/*未优化*/
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.empty()) {
            return 0;
        }
        array<int, 100004> dp {};
        int cost = prices[0];
        dp[0] = 0; 
        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
            if (prices[i] < cost) {
                cost = prices[i];
            }
            dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - cost);
        }
        return dp[prices.size() - 1];
    }
};

/*优化后*/
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.empty()) return 0;
        int cost = prices[0], maxprofit = 0;
        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
            if (prices[i] < cost) {
                cost = prices[i];
            }
            maxprofit = max(maxprofit, prices[i] - cost);
        }
        return maxprofit;
    }
};